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$M_A^A$

假设我们有一个向量空间 $V$，以及一个基 $B = \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n \}$。如果 $T: V \to V$ 是一个线性变换，那么 $T$ 在基 $A$ 下的矩阵表示 $M_A^A$ 是这样的一个矩阵：

$$M_A^A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$$

每个元素 $a_{ij}$ 表示线性变换 $T$ 将基向量 $\mathbf{e}_j$ 映射到 $T(\mathbf{e}_j)$ 并在基 $A$ 中表示时的第 $i$ 个坐标。

同样的，对于一个不同的基 $B = \{ \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n \}$，线性变换 $T$ 在基 $C$ 下的矩阵表示 $M_B^B$ 是：

$$M_B^B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{pmatrix}$$

每个元素 $b_{ij}$ 表示线性变换 $T$ 将基向量 $\mathbf{b}_j$ 映射到 $T(\mathbf{b}_j)$ 并在基 $B$ 中表示时的第 $i$ 个坐标。

如果我们知道基 $B$ 和基 $C$ 之间的关系（即基变换矩阵 $P$），我们可以将 $M_A^A$ 转换为$M_B^B$，反之亦然。基变换矩阵 $P$ 是基$B$ 的向量在基 $A$ 中的表示矩阵：

$$P = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ \mathbf{b}_1^A & \mathbf{b}_2^A & \cdots & \mathbf{b}_n^A \\ | & | & & | \end{pmatrix}$$

转换公式为：

$$M_B^B = P^{-1} M_A^A P$$

$M_A^B$ auf A $\to$ auf B

invarianter Unterraum

Sei $V$ ein Vektorraum, $T: V \rightarrow V $ ein linearer Operator, und $W \subseteq V$ ein Unterraum. Wenn $T(W) \subseteq W$ , dann nennt man $W$ einen invarianten Unterraum von $T$.

希尔伯特空间：完备空间（柯西必收敛） 柯西不收敛的例子：有理域（Körper）数列收敛到无理数 比如 $\sum_{n=1}^\infty (1+n)^{1/n}~收敛到~e$