$\ker f \subseteq f^{-1}(Y) \subseteq f^{-1}(H)$

对于一个从集合 $ G $到 ( H ) 的映射 $f: G \to H $：

1. 核（Kernel）

定义：

• 核是指 $G$ 中所有映射到 $H $中单位元的元素集合。

用数学语言表示：$\ker(f) = \{g \in G \mid f(g) = e_H\},$ 其中 $e_H$是 $H$中的单位元。

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2. 原像（Urbild / Preimage）

定义：

$ Y \subseteq H $： $H$ 中的一个子集

• 原像是 $G$ 中所有映射到 $Y$ 中的元素集合。

用数学语言表示：$f^{-1}(Y) = \{g \in G \mid f(g) \in Y\}.$

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两者的区别

核	原像
是映射中所有映射到单位元的元素集合。	是映射中所有映射到某个子集的元素集合。
只适用于特殊映射（群同态、线性变换等）。	适用于任意映射。
是 ( G ) 的一个子群或子空间。	未必具有代数结构。
是一个特殊情况：当 ( Y = {e_H} ) 时，核是原像的一种形式。	更一般化，包含核作为特殊情况。

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总结

• 核是 原像的特殊情况，具体指向映射到单位元的那些元素。
• 原像是更一般的概念，可以描述任何子集的“回溯”元素集合。